Правильный многоугольник

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны.

Равносторонний треугольник и квадрат — примеры правильных многоугольников.

Угол, под которым сторона многоугольника видна из его центра, называется центральным углом многоугольника.

pravilnyj-mnogougolnik

Например,

    \[\angle {A_1}O{A_5} = \beta \]

— центральный угол правильного пятиугольника

    \[{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}.\]

 

Свойства правильных многоугольников

  • Любой правильный многоугольник является вписанным в окружность

Радиус R описанной около правильного n-угольника окружности равен 

    \[R = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}},\]

где  a — сторона n-угольника.

  • Любой правильный многоугольник является описанным около окружности.

Радиус r вписанной в правильный n-угольник окружности равен

    \[r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}\]

  • Сторону правильного n-угольника можно найти по формулам

        \[a = 2r \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}\]

        \[a = 2R \cdot \sin \frac{{{{180}^o}}}{n}\]

  • Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника  имеют один и тот же центр — центр правильного многоугольника.  Центр правильного многоугольника равноудалён от сторон многоугольника и равноудалён от вершин многоугольника.
  • Периметр правильного n-угольника равен

        \[P = n \cdot a\]

  • Площадь любого правильного многоугольника равна

        \[S = p \cdot r,\]

    где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной в него окружности.

Для n-угольника

    \[p = \frac{{n \cdot a}}{2}, \Rightarrow S = \frac{{n \cdot a \cdot r}}{2}.\]

  • Правильные n-угольники подобны между собой. (В частном случае, если стороны n-угольников равны, n-угольники равны).
  • У правильных n-угольников отношения сторон, периметров, радиусов вписанных окружностей и радиусов описанных окружностей равны:

        \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\]

  • Площади правильных n-угольников относятся как квадраты их линейных размеров (например, как квадраты сторон):

        \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{a_1^2}}{{a_2^2}}\]

  • Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен

        \[\alpha  = \frac{{{{180}^o}(n - 2)}}{n}\]

  • Каждый внешний угол правильного n-угольника равен

        \[\varphi  = \frac{{{{360}^o}}}{n}\]

  • Каждый центральный угол правильного n-угольника равен

        \[\beta  = \frac{{{{360}^o}}}{n}.\]

Добавить комментарий