Сумма внешних углов

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Определение

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

vneshnij-ugol-mnogougolnikaНапример, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника 

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n},\]

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

 

vneshnij-ugol-n-ugolnika

 

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

 

 

skolko-vneshnih-uglov

∠1 = ∠2  (как вертикальные).

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

Теорема

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

summa-vneshnih-uglovДано:

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}\]

выпуклый многоугольник,

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах 

    \[{A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}\]

Доказать:

    \[\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + ... + \angle n = {360^o}.\]

Доказательство:

    \[\angle 1 + \angle {A_1} = {180^o}\]

(как смежные).

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

Следовательно, сумма всех внешних углов

    \[\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + ... + \angle n = {180^o} \cdot n - {180^o}(n - 2) = \]

    \[ = {180^o} \cdot n - {180^o} \cdot n + {360^o} = {360^o}.\]

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Alexey 23.08.2018 14:35 Ответить

    Вроде бы ошибка в написании условия.Вы хотите доказать,что сумма внешних углов = 180 градусов.

    • admin 23.08.2018 17:36 Ответить

      Спасибо, Алексей! Опечатка исправлена.

Добавить комментарий