Описанные правильные многоугольники

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и называется центром правильного многоугольника.

Выясним, какой радиус вписанной окружности имеют описанные правильные многоугольники в общем случае и в некоторых частных случаях.

Пусть AB — сторона правильного многоугольника,

O — его центр.

AB=a.

Соединим точку O  с точками A и B и проведем перпендикуляр OF к AB.

OF=r — радиус вписанной окружности.

OA=OB=R- радиусы описанной окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, OF — его высота, медиана и биссектриса.

Угол AOB — центральный угол данного правильного многоугольника. Если n — количество сторон многоугольника, то

    \[\angle AOB = \frac{{{{360}^o}}}{n},\]

    \[\angle AOF = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{{{{180}^o}}}{n},\]

    \[AF = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOF.

По определению тангенса,

    \[tg\angle AOF = \frac{{AF}}{{OF}},\]

    \[OF = \frac{{AF}}{{tg\angle AOF}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}} = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}.\]

Таким образом, формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности —

    \[r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}},\]

где a — сторона многоугольника, n — количество его сторон.

В частности, при n=3 формула радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

    \[r = \frac{a}{{2\sqrt 3 }},\]

так как

    \[r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{3}}} = \frac{a}{{2tg{{60}^o}}} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}.\]

При n=4 формула радиуса вписанной в правильный четырехугольник окружности

    \[r = \frac{a}{2},\]

    \[r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{4}}} = \frac{a}{{2tg{{45}^o}}} = \frac{a}{2}.\]

При n=6 формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\]

так как

    \[r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{6}}} = \frac{a}{{2tg{{30}^o}}} = \frac{a}{{2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Добавить комментарий