Вписанные правильные многоугольники

Любой правильный многоугольник является вписанным в окружность. Найдём, какой радиус описанной окружности имеют вписанные правильные многоугольники в общем случае и в некоторых частных случаях.

opisannyj-pravilnyj-mnogougolnikПусть дан произвольный правильный многоугольник со стороной a. Обозначим одну из его сторон AB, AB=a. O — центр описанной окружности.

 

opisannye-pravilnye-mnogougolnikiПроведём радиусы OA и OB.Так как OA=OB, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Если многоугольник имеет n сторон и n углов (n-угольник), то его центральный угол

    \[\angle AOB = \frac{{{{360}^o}}}{n}.\]

Проведём высоту OF. По свойству равнобедренного треугольника, OF является также его биссектрисой и медианой. Поэтому

    \[AF = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2},\]

    \[\angle AOF = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{{{{180}^o}}}{n}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOF. По определению синуса

    \[\sin \angle AOF = \frac{{AF}}{{AO}},\]

    \[AO = \frac{{AF}}{{\sin \angle AOF}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}} = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}}.\]

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного многоугольника окружности - 

    \[R = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}},\]

где n — количество сторон и количество углов, a — сторона n-угольника.

radius-opisannoj-okruzhnosti-pravilnogo-treugolnikaВ частности, при n=3 формула для нахождения радиуса описанной около правильного треугольника окружности —

    \[R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

 

radius-opisannoj-okruzhnosti-pravilnogo-chetyrekhugolnikaПри n=4 формула радиуса описанной около правильного четырёхугольника окружности —

    \[R = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\]

 

radius-opisannoj-okruzhnosti-pravilnogo-shestiugolnikaПри n=6 формула радиуса описанной около правильного шестиугольника окружности —

    \[R = a\]

 

Обратно, формула для нахождения стороны вписанного правильного многоугольника через радиус описанной окружности:

    \[a = 2R\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}.\]

Добавить комментарий