Катет, лежащий против угла 30 градусов

Утверждение

Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

katet lezhaschiy protiv ugla 30

 

Дано:

∆ ABC,

∠C=90º,

∠A=30º.

Доказать:

    \[BC = \frac{1}{2}AB\]

Доказательство:

I способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

Проведем из вершины прямого угла медиану CF.

katet lezhaschiy protiv 30

 

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то

    \[CF = \frac{1}{2}AB,\]

то есть, CF=AF=BF.

Так как BF=CF, то  треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.

Следовательно, у него углы при основании равны:

∠B=∠BCF=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC

∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.

Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.

Значит, все его стороны равны и

    \[BC = CF = BF = \frac{1}{2}AB\]

Что и требовалось доказать.

 

II способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

katet protiv ugla 30

Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.

В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º  ( по построению).

Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.

Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:

∠BAD=∠D=∠B=60º.

Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.

BC=DC (по построению), поэтому

    \[BC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>