В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Теорема

(свойство углов при основании равнобедренного треугольника).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: ∆ ABC,

AC=BC

Доказать: ∠A=∠B.

 

Доказательство:

1-й способ:

Проведем в треугольнике ABC

биссектрису CF.

 

 

Рассмотрим ∆ ACF и ∆ BCF.

1) AC=BC (по условию)

2) CF — общая сторона

3) ∠ACF=∠BCF (так как CF — биссектриса).

Следовательно, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠B.

Что и требовалось доказать.

 

2-й способ:

Рассмотрим треугольники ABC и BAC (это — 2 разных треугольника!).

1) Угол C — общий

2) AC=BC (по условию)

3) BC=AC (по условию).

Следовательно, треугольники ABC и BAC равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠B.

Что и требовалось доказать.

 

И обратно: если два угла треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Эта теорема, обратная свойству углов при основании равнобедренного треугольника, относится к одному из признаков равнобедренного треугольника.

Её мы докажем позже.