Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию

Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника)

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и высотой.

 

Дано:

∆ ABC,

AC=BC,

CF — медиана.

 Доказать: CF — биссектриса и высота.

 Доказательство:

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника ))

2) AF=BF (так как CF — медиана по условию)

3) ∠CAF=∠CBF (как углы при основании равнобедренного треугольника).

 

Следовательно, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.

Значит,

1) ∠ACF=∠BCF. Отсюда, CF — биссектриса треугольника ABC.

2) ∠AFC=∠BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠AFC=∠BFC=90º.

Значит, CF — высота треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.