Биссектрисы вертикальных углов

Выясним, как расположены биссектрисы вертикальных углов.

Утверждение.

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

bissektrisy-vertikalnyh-uglovДано: ∠AOD и ∠СOB — вертикальные,

OF — биссектриса ∠AOD,

OK — биссектриса ∠СOB.

Доказать: OF и OK лежат на одной прямой.

Доказательство:

1) ∠AOD =∠СOB (как вертикальные).

Так как OF — биссектриса ∠AOD, OK — биссектриса ∠СOB, то

bissektrisy-vertikalnyh-uglov-svojstvo∠AOF=∠FOD=∠COK=∠KOB=α.

2) ∠AOC+∠COB=180° (как смежные).

Отсюда ∠AOC=180°-∠COB=180°-2α.

3) ∠FOK=∠AOF+∠AOC+∠СOB=α+180°-2α+α=180°.

Значит, ∠FOK — развёрнутый. Следовательно, лучи OF и OK лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, биссектрисы вертикальных углов являются дополнительными лучами.

Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180°.

Добавить комментарий