Биссектриса угла при основании треугольника

Задача.

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна его стороне. Найти углы данного треугольника.

bissektrisa-ugla-pri-osnovanii-treugolnikaДано: ∆ ABC,

AB=BC,

AF — биссектриса,

AF=AC.

Найти: ∠BAC, ∠B, ∠C.

Решение:

1) Пусть ∠BAF=∠FAC=xº, тогда ∠BAC=∠C=2xº (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).

2) Рассмотрим треугольник AFC.

Так как AF=AC, треугольник AFC — равнобедренный с основанием FC.

Следовательно, у него углы при основании равны:

∠AFC+∠C=2xº.

По теореме о сумме углов треугольника

∠AFC+∠C+∠FAC=180º.

Составляем уравнение

2x+2x+x=180

5x=180

x=36

Таким образом, ∠BAC=∠C=2∙36=72º.

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠B=180-2∠C=2∙72=36º.

Ответ: 72º, 72º, 36º.

В условии задаче не указано, которой из сторон равна биссектриса треугольника — боковой или основанию. Мы рассмотрели вариант, когда биссектриса равна основанию. А может ли биссектриса угла при основании равняться боковой стороне?

bissektrisa-ugla-pri-osnovaniiПредположим, AF=AB, тогда ∠B=∠AFB.

∠BAF=xº, ∠BAC=∠C=2xº.

Найдем углы при основании равнобедренного треугольника ABF

∠B=∠AFB=(180º-x):2=90º-x:2.

∠BAC+∠C+∠B=180º,

2x+2x+90-x:2=180

3,5x=90

x=90:3,5

    \[x = \frac{{90 \cdot 2}}{7}\]

    \[x = \frac{{180}}{7}\]

    \[x = 25\frac{5}{7}\]

    \[\angle BAC = \angle C = 2 \cdot 25\frac{5}{7} = \frac{{2 \cdot 180}}{7} = {(51\frac{3}{7})^o},\]

    \[\angle B = 90 - 25\frac{5}{7}:2 = 90 - \frac{{180}}{{7 \cdot 2}} = \]

    \[ = 90 - \frac{{90}}{7} = \frac{{540}}{7} = {(77\frac{1}{7})^o}.\]

Ответ:

    \[{(51\frac{3}{7})^o},{(51\frac{3}{7})^o},{(77\frac{1}{7})^o}.\]

Эта же задача может быть сформулирована несколько иначе.

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найти углы данного треугольника.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>