Биссектриса угла при основании треугольника

Задача.

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна его стороне. Найти углы данного треугольника.

bissektrisa-ugla-pri-osnovanii-treugolnikaДано: ∆ ABC,

AB=BC,

AF — биссектриса,

AF=AC.

Найти: ∠BAC, ∠B, ∠C.

Решение:

1) Пусть ∠BAF=∠FAC=xº, тогда ∠BAC=∠C=2xº (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).

2) Рассмотрим треугольник AFC.

Так как AF=AC, треугольник AFC — равнобедренный с основанием FC.

Следовательно, у него углы при основании равны:

∠AFC+∠C=2xº.

По теореме о сумме углов треугольника

∠AFC+∠C+∠FAC=180º.

Составляем уравнение

2x+2x+x=180

5x=180

x=36

Таким образом, ∠BAC=∠C=2∙36=72º.

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠B=180-2∠C=2∙72=36º.

Ответ: 72º, 72º, 36º.

В условии задаче не указано, которой из сторон равна биссектриса треугольника — боковой или основанию. Мы рассмотрели вариант, когда биссектриса равна основанию. А может ли биссектриса угла при основании равняться боковой стороне?

bissektrisa-ugla-pri-osnovaniiПредположим, AF=AB, тогда ∠B=∠AFB.

∠BAF=xº, ∠BAC=∠C=2xº.

Найдем углы при основании равнобедренного треугольника ABF

∠B=∠AFB=(180º-x):2=90º-x:2.

∠BAC+∠C+∠B=180º,

2x+2x+90-x:2=180

3,5x=90

x=90:3,5

    \[x = \frac{{90 \cdot 2}}{7}\]

    \[x = \frac{{180}}{7}\]

    \[x = 25\frac{5}{7}\]

    \[\angle BAC = \angle C = 2 \cdot 25\frac{5}{7} = \frac{{2 \cdot 180}}{7} = {(51\frac{3}{7})^o},\]

    \[\angle B = 90 - 25\frac{5}{7}:2 = 90 - \frac{{180}}{{7 \cdot 2}} = \]

    \[ = 90 - \frac{{90}}{7} = \frac{{540}}{7} = {(77\frac{1}{7})^o}.\]

Ответ:

    \[{(51\frac{3}{7})^o},{(51\frac{3}{7})^o},{(77\frac{1}{7})^o}.\]

Эта же задача может быть сформулирована несколько иначе.

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найти углы данного треугольника.

Добавить комментарий