Равновеликие треугольники

Определение.

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

ravnovelikie-treugolnikiНапример, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

По формуле

    \[S = \frac{1}{2}a{h_a}\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6,\]

    \[{S_{\Delta MKF}} = \frac{1}{2}MF \cdot KP,\]

    \[{S_{\Delta MKF}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6.\]

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

ravnovelikie-treugolniki-v-trapecii  1) ∆ABD и ∆ACD,

2) ∆ABC и ∆BCD,

3) ∆ABO и ∆COD.

Доказательство:

treugolniki-v-trapecii1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

    \[{S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}AD \cdot BK,\]

    \[{S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}AD \cdot CF.\]

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно, 

    \[{S_{\Delta ABD}} = {S_{\Delta ACD}}\]

2) Аналогично,

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot BK,\]

    \[{S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}BC \cdot CF\]

и

    \[{S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta BCD}}\]

treugolniki-s-ravnymi-ploshchadyami-v-trapecii3)

    \[{S_{\Delta ABO}} = {S_{\Delta ABD}} - {S_{\Delta AOD}},\]

    \[{S_{\Delta COD}} = {S_{\Delta ACD}} - {S_{\Delta AOD}}.\]

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

    \[{S_{\Delta ABO}} = {S_{\Delta COD}}\]

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>