Правильный пятиугольник |

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

pravilnyj-pyatiugolnik Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

∠A₁O A₂=360º:5=72º.

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

pravilnyj-pyatiugolnik-radius-opisannoj-okruzhnosti

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

В треугольнике A₁OA₅

${A_1}{A_5} = a,$

${A_1}O = {A_5}O = R,$

$\angle {A_1}O{A_5} = {72^o}.$

pravilnyj-pyatiugolnik-ploshchad Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

${A_1}F = \frac{1}{2}{A_1}{A_5} = \frac{a}{2},$

$\angle {A_1}OF = \frac{1}{2}\angle {A_1}O{A_2} = {36^o}.$

OF — радиус вписанной в A₁A₂A₃A₄A₅окружности: OF=r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

По определению синуса,

$\sin \angle {A_1}OF = \frac{{{A_1}F}}{{{A_1}O}},$

откуда

${A_1}O = \frac{{{A_1}F}}{{\sin \angle {A_1}OF}},$

$R = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sin {{36}^o}}} = \frac{a}{{2\sin {{36}^o}}}.$

Так как

$\sin {36^o} = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}} ,$

то

$R = \frac{a}{{2\sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}} }} = \frac{{a\sqrt 8 }}{{2\sqrt {5 - \sqrt 5 } }} = \frac{{a \cdot 2\sqrt 2 }}{{2\sqrt {5 - \sqrt 5 } }} =$

$= \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt {5 - \sqrt 5 } }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{\sqrt {5 - \sqrt 5 } \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{\sqrt {{5^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}} }} =$