Тангенс 36 градусов

Тангенс 36 градусов (tg 36°) может быть найден через косинус 36 градусов.

Поскольку

    \[1 + t{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},\]

    \[t{g^2}\alpha = 1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]

Таким образом,

    \[t{g^2}{36^o} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{36}^o}}} - 1.\]

Подставив значение cos  36°, получаем

    \[t{g^2}{36^o} = \frac{1}{{{{(\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4})}^2}}} - 1 = \frac{{16}}{{5 + 2\sqrt 5 + 1}} - 1 = \]

    \[ = \frac{{16}}{{6 + 2\sqrt 5 }} - 1 = \frac{{16}}{{2(3 + \sqrt 5 )}} - 1 = \frac{8}{{3 + \sqrt 5 }} - 1 = \]

    \[ = \frac{{8 \cdot (3 - \sqrt 5 )}}{{(3 + \sqrt 5 ) \cdot (3 - \sqrt 5 )}} - 1 = \frac{{8 \cdot (3 - \sqrt 5 )}}{{9 - 5}} - 1 = \]

    \[ = 2 \cdot (3 - \sqrt 5 ) - 1 = 5 - 2\sqrt 5 .\]

Отсюда

    \[tg{36^o} = \sqrt {5 - 2\sqrt 5 } .\]

Можно также найти тангенс 36° как отношение синуса 36° к косинусу 36°.

Котангенс 36 градусов (ctg 36°) можно найти через тангенс 36°:

    \[ctg\alpha = \frac{1}{{tg\alpha }},\]

    \[ctg{36^o} = \frac{1}{{tg{{36}^o}}},\]

    \[ctg{36^o} = \frac{1}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } }} = \frac{{1 \cdot \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } \cdot \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }} = \]

    \[ = \frac{{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt {25 - 20} }} = \sqrt {\frac{{5 + 2\sqrt 5 }}{5}} = \sqrt {1 + \frac{2}{{\sqrt 5 }}} .\]

Если нужна формула без иррациональности в знаменателе,

    \[ctg{36^o} = \sqrt {1 + \frac{2}{{\sqrt 5 }}} = \sqrt {1 + \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \sqrt {\frac{{5 + 2\sqrt 5 }}{5}} = \]

    \[ = \frac{{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cdot \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{5}.\]

Добавить комментарий