Сумма углов многоугольника

Теорема

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

summa-uglov-mnogougolnika

 

Дано:

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}\]

—  выпуклый n -угольник.

Доказать:

    \[\angle {A_1} + \angle {A_2} + \angle {A_3} + ... + \angle {A_{n - 1}} + \angle {A_n} = \]

    \[ = {180^o}(n - 2)\]

Доказательство:

summa-uglov-n-ugolnika1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

    \[\angle {A_1} + \angle {A_2} + \angle {A_3} + ... + \angle {A_{n - 1}} + \angle {A_n} = \]

    \[ = \angle O{A_1}{A_2} + \angle O{A_2}{A_1} + ... + \]

    \[ + \angle O{A_{n - 1}}{A_n} + \angle O{A_n}{A_{n - 1}}.\]

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

    \[\angle {A_1}O{A_2} + \angle {A_2}O{A_3} + ... + \angle {A_{n - 1}}O{A_n} = {360^o},\]

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

    \[\angle {A_1} + \angle {A_2} + \angle {A_3} + ... + \angle {A_{n - 1}} + \angle {A_n} = \]

    \[ = {180^o} \cdot n - {360^o} = {180^o}(n - 2).\]

Что и требовалось доказать.

teorema-o-summe-uglov-mnogougolnika2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

    \[\angle {A_1} + \angle {A_2} + \angle {A_3} + ... + \angle {A_{n - 1}} + \angle {A_n} = \]

    \[ = {180^o}(n - 2).\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий