В выпуклом четырёхугольнике

Задача

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  углы BCA и BDA равны.

Доказать, что углы ABD и ACD также равны.

v-vypuklom-chetyrekhugolnikeДано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

∠BCA=∠BDA

Доказать:

∠ABD=∠ACD

Доказательство:

v-vypuklom-chetyrekhugolnike-abcd-uglyПусть AC∩BD=O.

I. Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

1) ∠ADO=∠BCO (по условию);

2) ∠AOD=∠BOC (как вертикальные).

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны (по двум углам). Значит, их соответствующие стороны пропорциональны:

    \[\frac{{AO}}{{BO}} = \frac{{OD}}{{OC}}\]

Если в верной пропорции поменять местами средние члены, то получившаяся новая пропорция также будет верна. Отсюда,

    \[\frac{{AO}}{{OD}} = \frac{{BO}}{{OC}}.\]

II. Рассмотрим треугольники AOB и DOC.

1) ∠AOB=∠DOC (как вертикальные);

    \[2)\frac{{AO}}{{OD}} = \frac{{BO}}{{OC}}\]

(по доказанному).

Следовательно, треугольники AOB и DOC подобны (по двум сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов: ∠ABO=∠DCO, то есть ∠ABD=∠ACD.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий