Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая

Задача.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках F и K соответственно. Доказать, что BF=DK.

cherez-tochku-o-peresecheniya-diagonalej

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC∩BD=O, O∈FK,

FK∩BC=F, FK∩AD=K

Доказать: BF=DK

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BOD и DOK

cherez-tochku-o-peresecheniya1) ∠BOF =∠DOK (как вертикальные);

2) BO=DO (по свойству диагоналей параллелограмма);

3) ∠OBF =∠ODK (как внутренние накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD).

Следовательно, треугольники BOD и DOK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=DK.

Что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается, что  CF=AK (из равенства треугольников COF  и AOK).

Добавить комментарий