Подобие в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим подобие треугольников в прямоугольном треугольнике.

Утверждение 1

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два  треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.

podobie-v-pryamougolnom-treugolnikeДано: ∆ABC, ∠C=90º,

CH — высота.

Доказать: ∆ACH ∼∆ABC,

∆CBH ∼∆ABC,

∆ACH ∼∆CBH.

Доказательство:

podobie-treugolnikov-v-pryamougolnom-treugolnike1) Для треугольников ACH и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆ACH ∼∆ABC (по острому углу).

Аналогично, для треугольников CBH  и ABC угол B — общий. Следовательно, ∆CBH∼∆ABC.

2) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠B=90º-∠A, в треугольнике CHB ∠BCH=90º-∠B=90º-(90º-∠A)=∠A.

Таким образом, в треугольниках ACH и CBH ∠CAH=∠BCH. А значит, ∆ACH ∼∆CBH (по острому углу).

Что и требовалось доказать.

(Другой вариант: два треугольника, подобных одному треугольнику, подобны между собой).

Утверждение 2

Прямые, параллельные катетам прямоугольного треугольника, отсекают от него треугольники, подобные данному. Эти треугольники также подобны между собой.

podobnye-treugolniki-v-pryamougolnom-treugolnikeДано: ∆ABC, ∠C=90º,

KF∥BC, MN∥AC

Доказать: ∆AFK ∼∆ABC,

∆MBN ∼∆ABC,

∆AFK∼∆MBN.

Доказательство:

1) Так как ∠C=90º и KF∥BC, то ∠AKF=90º, то есть треугольник AFK — прямоугольный.

Для треугольников AFK и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆AFK ∼∆ABC (по острому углу).

2) Аналогично, ∠MNB=90º и ∆MBN ∼∆ABC (по общему острому углу B).

3) ∠AFK=∠B (как соответственные при KF∥BC и секущей AB). Следовательно, ∆AFK∼∆MBN (по острому углу).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий