Угол между общими касательными

Если две окружности касаются внешне, как найти угол между их общими внешними касательными?

ugol-mezhdu-obshchimi-kasatelnymiДано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, CK и CM — их общие внешние касательные.

Найти: ∠KCM

Решение:

Центры окружностей, точки O1 иO2 и их точка касания D лежат на одной прямой.

ugol-mezhdu-kasatelnymi-dvuh-okruzhnostejПроведём радиусы O1A и O2B в точки касания с их общей внешней касательной CM.

    \[{O_1}A \bot CM,{O_2}B \bot CM\]

(как радиусы, проведённые в точки касания), следовательно, O1A∥O2B и четырёхугольник ABO2O1 — прямоугольная трапеция.

Проведём высоту O2F.

Четырёхугольник ABO2F — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Значит, AF=O2B=R-r, O2F=AB=2√Rr.

В прямоугольном треугольнике O1O2F

    \[\sin \angle {O_1}{O_2}F = \frac{{{O_1}F}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{R - r}}{{R + r}}\]

Обозначим для удобства ∠O1O2F=α. Тогда 

    \[\sin \alpha  = \frac{{R - r}}{{R + r}},\]

    \[\cos \alpha  = \frac{{{O_2}F}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{2\sqrt {Rr} }}{{R + r}},\]

    \[tg\alpha  = \frac{{{O_1}F}}{{{O_2}F}} = \frac{{R - r}}{{2\sqrt {Rr} }}.\]

∠O1CM=∠O1O2F=α (как соответственные при AB∥FO2 и секущей CO1).

CO1 — биссектриса угла KCM. Значит, ∠KCM=2α.

Если значения синуса, косинуса или тангенса не являются табличными, можно найти синус, косинус или тангенс угла KCM, используя формулы двойного угла.

    \[\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha ;\]

    \[\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1;\]

    \[tg2\alpha  = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}.\]

Например, 

    \[tg\angle {\rm{KCM}} = \frac{{2 \cdot \frac{{R - r}}{{2\sqrt {Rr} }}}}{{1 - {{(\frac{{R - r}}{{2\sqrt {Rr} }})}^2}}} = \frac{{4\sqrt {Rr} (R - r)}}{{4Rr - {{(R - r)}^2}}}.\]

Угол KCM равен арктангенсу этой величины.

Добавить комментарий