Отрезки общих касательных

Утверждение

Если две окружности касаются внешне, то отрезки общих касательных равны между собой.

otrezki-obshchih-kasatelnyhПусть окружность (O1;R) и окружность (O2;r) касаются внешним образом в точке H,

A, B, C, D — точки касания окружностей с общими внешними касательными,

P — точка пересечения общих внешних касательных.

F и K — точки пересечения внутренней общей касательной с внешними.

Тогда обе окружности вписаны в угол APD, а их центры, точки O1 и O2 , а также общая точка касания H лежат на биссектрисе этого угла.

Так как FP=KP (как отрезки  касательных, проведённых из одной точки), то треугольник FPK — равнобедренный с основанием FK. Значит, биссектриса PH является также его медианой, то есть FH=KH.

Окружность (O2;r) также является вписанной в углы HFP и HKP. Следовательно, FH=FB, KH=KC. Поскольку FH=KH, все эти отрезки равны между собой: FB=FH=KH=KC.

Аналогично, окружность (O2;r) вписана в углы AFH и DKH и AF=FH=KH=KD.

Отсюда следует, что FB=FH=KH=KC=AF=KD.

AB=AF+FB, FK=FH+HK, CD=CK+KD.

Следовательно, AB=FK=CD.

По доказанному, длина AB равна удвоенному среднему пропорциональному радиусов окружностей, значит

    \[AB = FK = CD = 2\sqrt {Rr} \]

Заметим, что внутренняя касательная делит отрезки внешних касательных пополам, и

    \[AF = FB = CK = KD = FH = KH = \sqrt {Rr} \]

Добавить комментарий