Длина отрезка общей касательной

Утверждение

Если две окружности касаются внешне, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.

dlina-obshchej-kasatelnoj-okruzhnostej Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, AB — общая касательная,

окр. (O1; R)∩AB=A, окр.(O2; r)∩AB=B.

Доказать:

    \[AB = 2\sqrt {Rr} \]

Доказательство:

dlina-obshchej-kasatelnojСоединим центры окружностей с точками касания.

ABO2O1 — прямоугольная трапеция (по доказанному).

Из точки O2 на сторону AO1 опустим перпендикуляр O2F. Четырёхугольник ABO2F — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому его противоположные стороны равны: FO2=AB, AF=BO2=r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2F.

FO1=AO1-AF=R-r, O1O2=O1D+O2D=R+r.

По теореме Пифагора

    \[{O_1}O_2^2 = FO_1^2 + FO_2^2,\]

    \[F{O_2} = \sqrt {{O_1}O_2^2 - FO_1^2} \]

    \[F{O_2} = \sqrt {{{(R + r)}^2} - {{(R - r)}^2}}  = \]

    \[ = \sqrt {{R^2} + 2Rr + {r^2} - {R^2} + 2Rr - {r^2}}  = 2\sqrt {Rr} ,\]

а значит, и

    \[AB = 2\sqrt {Rr} .\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий