Угол между гипотенузой и медианой, проведенной к гипотенузе

Рассмотрим, как связан угол между гипотенузой и медианой, проведенной к гипотенузе, с острыми углами прямоугольного треугольника.

ugol mezhdu gipotenuzoy i medianoy treugolnika

Дано: ∆АВС, ∠А=90º,

AM — медиана,

∠АMB=β.

Найти: ∠B, ∠C.

Решение:

$AM = \frac{1}{2}BC, \Rightarrow AM = BM = CM.$

ugol mezhdu gipotenuzoy i medianoy Значит, треугольник ABM — равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, у него углы при основании равны:

∠B= ∠BAM.

$\angle B = \angle BAM =$

$= \frac{1}{2}({180^o} - \angle AMB) = \frac{1}{2}({180^o} - \beta ) = {90^o} - \frac{\beta }{2}.$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, поэтому в ∆АВС

$\angle C = {90^o} - \angle B = {90^o} - ({90^o} - \frac{\beta }{2}) =$

$= {90^o} - {90^o} + \frac{\beta }{2} = \frac{\beta }{2}.$

Вывод:

Если угол между гипотенузой и медианой, проведенной к гипотенузе, равен β, то острые углы треугольника равны 90º- β/2 и β/2.

Примечание: здесь β — острый угол. Другой угол, образованный медианой и гипотенузой, смежный с β, а значит, равен 180º— β.