Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника

Рассмотрим, как связаны между собой угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника и его острые углы.

I. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

ugol mezhdu vyisotoy i bissektrisoy pryamougolnogo treugolnika Дано: ∆АВС, ∠А=90º,

AP — биссектриса, AF — высота,

∠PАF=φ.

Найти: ∠B,∠C.

 

Решение:

1)  Так как AP — биссектриса прямого угла A, то ∠BAP=∠CAP=45º.

2)∠FAC=∠CAP-∠PАF=45º- φ.

3) ∆АFС — прямоугольный (так как AF — высота), следовательно, сумма его острых углов равна 90º:

∠C +∠FAC=90º, поэтому ∠C=90º -∠FAC=90-(45º- φ)=90º-45º+ φ=45º+ φ.

4) ∆АВС — прямоугольный(по условию), значит, ∠C +∠B=90º. Отсюда

∠B=90º-∠C=90º-(45º+ φ)=90º-45º- φ=45º- φ.

Вывод:

Острые углы прямоугольного треугольника равны 45º+ φ и 45º- φ , где φ — угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

I. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла.

ugol-mezhdu-vysotoj-i-bissektrisojПоскольку в прямоугольном треугольнике высоты, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами, угол между высотой и биссектрисой в этом случае — половина острого  угла треугольника.

Следовательно, один острый угол в два раза больше угла между высотой и биссектрисой, а второй  равен разности 90º и первого острого угла.

Например, в треугольнике ABC (∠A=90º) CM — биссектриса, CA — высота.

∠ACM — угол между высотой и биссектрисой.

Угол ACB в два раза больше угла ACM.

2 Comments

  1. Сергей 27.01.2015 18:50 Ответить

    Будьте добры ссылку или доказательство того что Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла равен половине острого угла?

    • admin 10.02.2015 01:32 Ответить

      Сергей, речь идёт о высоте и биссектрисе, проведённых из одной вершины. Добавила в пост пример.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>