Тангенс 30 градусов

Найдем тангенс угла 30 градусов с помощью определения тангенса в прямоугольном треугольнике.

Утверждение.

    \[tg{30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]

Доказательство:

tangens 30 Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из острых углов которого равен 30 градусам:

∠C=90º, ∠A=35º.

Так как катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы, то

    \[BC = \frac{1}{2}AB.\]

Пусть

    \[BC = a, \Rightarrow AB = 2a.\]

По теореме Пифагора,

    \[A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\]

    \[{(2a)^2} = A{C^2} + {a^2}\]

    \[A{C^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}\]

    \[AC = \sqrt {3{a^2}}  = a\sqrt 3 .\]

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике,

    \[tg\angle A = \frac{{BC}}{{AC}},\]

отсюда,

    \[tg{30^o} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]

Иррациональность в знаменателе оставлять не принято. Умножаем и числитель, и знаменатель дроби на квадратный корень из трех:

    \[tg{30^o} = \frac{{1 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Переведем угол 30 градусов в радианы:

    \[{30^o} = \frac{\pi }{6}\]

Значит, тангенс пи на 6 равен

    \[tg\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>