Синус 60 градусов в прямоугольном треугольнике

Найдем синус 60 градусов, пользуясь определением синуса в прямоугольном треугольнике.

Утверждение.

$\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Доказательство:

sinus 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 60 градусов:

∠C=90º, ∠A=60º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-60º=30º.

$AC = \frac{1}{2}AB.$

Обозначим AC=a, тогда AB=2a.

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

${(2a)^2} = {a^2} + B{C^2}$

$B{C^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}$

$BC = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3 .$

По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника,

$\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}}.$

Отсюда,

$\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Если перевести 60 градусов в радианы:

${60^o} = \frac{\pi }{3},$

то получим, что синус пи на три равен

$\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Синус 60 градусов