Синус 60 градусов

Найдем синус 60 градусов, пользуясь определением синуса в прямоугольном треугольнике.

Утверждение.

    \[\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Доказательство:

sinus 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 60 градусов:

∠C=90º, ∠A=60º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-60º=30º.

Катет, лежащий напротив угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, поэтому

    \[AC = \frac{1}{2}AB.\]

Обозначим AC=a, тогда AB=2a.

По теореме Пифагора

    \[A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\]

    \[{(2a)^2} = {a^2} + B{C^2}\]

    \[B{C^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}\]

    \[BC = \sqrt {3{a^2}}  = a\sqrt 3 .\]

По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника,

    \[\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}}.\]

Отсюда,

    \[\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Если перевести 60 градусов в радианы:

    \[{60^o} = \frac{\pi }{3},\]

то получим, что синус пи на три равен

    \[\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>