Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.

I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapeciiКак и для случая произвольной трапеции, площадь равнобедренной трапеции ABCD, AD∥BC, AB=CD,

    \[BF \bot AD,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BF\]

Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

formula-ploshchadi-ravnobedrennoj-trapeciiЭто верно, в частности, для равнобедренной трапеции.

Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна

    \[{S_{ABCD}} = MN \cdot BF\]

Если MN=m, BF=h, то

    \[S = m \cdot h\]

III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-diagonaliДля равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O,

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}A{C^2} \cdot \sin \angle COD\]

Если AC=d, ∠COD=φ

    \[S = \frac{1}{2}{d^2}\sin \varphi \]

VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:

    \[S = \frac{1}{2}{d^2}\]

2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-diagonali-perpendikulyarnyВ равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.

Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе

    \[OK = \frac{1}{2}AD,OF = \frac{1}{2}BC.\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot FK = \]

    \[ = (\frac{{AD}}{2} + \frac{{BC}}{2}) \cdot FK = \]

    \[ = (OK + OF) \cdot FK = FK \cdot FK = F{K^2}.\]

Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:

    \[S = {h^2}\]

V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-radius

    \[S = p \cdot r\]

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.

Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то

    \[S = (a + b) \cdot r\]

Также площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.

Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае

    \[S = 2cr\]

Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований:

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot \sqrt {ab} \]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>