Меньшая диагональ и тупой угол ромба

Если известны меньшая диагональ и тупой угол ромба, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

Меньшая диагональ ромба равна d, а его тупой угол — β. Найти большую диагональ, сторону, периметр, площадь, высоту ромба и радиус вписанной в него окружности.

menshaya-diagonal-i-tupoj-ugol-rombaПусть BD — меньшая диагональ ромба ABCD.

BD=d, ∠ABC=β.

Проведём вторую диагональ ромба: AC ∩ BD=O.

По свойствам ромба, диагонали являются биссектрисами его углов, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB.

    \[\angle ABO = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{\beta }{2},BO = \frac{1}{2}BD = \frac{d}{2}.\]

По определению тангенса

    \[tg\angle ABO = \frac{{AO}}{{BO}}, \Rightarrow AO = BO \cdot tg\angle ABO,\]

    \[AO = \frac{d}{2} \cdot tg\frac{\beta }{2},AC = 2 \cdot AO,\]

    \[AC = 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot tg\frac{\beta }{2} = d \cdot tg\frac{\beta }{2}.\]

По определению косинуса

    \[\cos \angle ABO = \frac{{BO}}{{AB}}, \Rightarrow AB = \frac{{BO}}{{\cos \angle ABO}},\]

    \[AB = \frac{{\frac{d}{2}}}{{\cos \frac{\beta }{2}}} = \frac{d}{{2\cos \frac{\beta }{2}}}.\]

Периметр ромба равен

    \[P = 4 \cdot AB = 4 \cdot \frac{d}{{2\cos \frac{\beta }{2}}} = \frac{{2d}}{{\cos \frac{\beta }{2}}},\]

площадь

    \[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot d \cdot tg\frac{\beta }{2} = \frac{{{d^2}}}{2} \cdot tg\frac{\beta }{2}.\]

dany-menshaya-diagonal-i-tupoj-ugol-rombaОпустим перпендикуляр OF из точки пересечения диагоналей к стороне ромба. OF- радиус вписанной окружности.

Из прямоугольного треугольника BOF

    \[OF = BO \cdot \sin \angle FBO,\]

следовательно, радиус вписанной окружности через меньшую диагональ и тупой угол ромба есть

    \[r = \frac{d}{2}\sin \frac{\beta }{2}.\]

Высота ромба в два раза больше радиуса:

    \[h = 2 \cdot \frac{d}{2}\sin \frac{\beta }{2} = d\sin \frac{\beta }{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>