Большая диагональ и острый угол ромба

Если известна большая диагональ и острый угол ромба, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

Большая диагональ ромба равна D, острый угол — α. Найти меньшую диагональ, стороны, периметр и площадь ромба, а также его высоту и радиус вписанной окружности.

bolshaya-diagonal-i-ostryj-ugol-romba Пусть AC — большая диагональ ромба ABCD, AC=D. ∠BAD=α.

Проведём вторую диагональ: AC ∩ BD=O.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то треугольник AOB — прямоугольный,

$\angle BAO = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{\alpha }{2},AO = \frac{1}{2}AC = \frac{D}{2}.$

По определению тангенса,

$tg\angle BAO = \frac{{BO}}{{AO}}, \Rightarrow BO = AO \cdot tg\angle BAO,$

$BO = \frac{D}{2} \cdot tg\frac{\alpha }{2},BD = 2 \cdot BO,$

$BD = 2 \cdot \frac{D}{2} \cdot tg\frac{\alpha }{2} = D \cdot tg\frac{\alpha }{2}.$

По определению косинуса,

$\cos \angle BAO = \frac{{AO}}{{AB}}, \Rightarrow AB = \frac{{AO}}{{\cos \angle BAO}},$

$AB = \frac{{\frac{D}{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{D}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}}.$

Периметр ромба

$P = 4 \cdot AB = \frac{{4D}}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2D}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}},$

площадь —

$S = \frac{1}{2}AC \cdot BD,$

$S = \frac{1}{2} \cdot D \cdot D \cdot tg\frac{\alpha }{2} = \frac{{{D^2}}}{2} \cdot tg\frac{\alpha }{2}.$

dany-bolshaya-diagonal-i-ostryj-ugol-romba Опустим перпендикуляр OF из точки пересечения диагоналей к стороне AD. OF — радиус вписанной в ромб окружности. Из прямоугольного треугольника AOF