Большая диагональ и острый угол ромба

Если известна большая диагональ и острый угол ромба, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

Большая диагональ ромба равна D, острый угол — α. Найти меньшую диагональ, стороны, периметр и площадь ромба, а также его высоту и радиус вписанной окружности.

bolshaya-diagonal-i-ostryj-ugol-rombaПусть AC — большая диагональ ромба ABCD, AC=D. ∠BAD=α.

Проведём вторую диагональ: AC ∩ BD=O.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то треугольник AOB — прямоугольный,

    \[\angle BAO = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{\alpha }{2},AO = \frac{1}{2}AC = \frac{D}{2}.\]

По определению тангенса

    \[tg\angle BAO = \frac{{BO}}{{AO}}, \Rightarrow BO = AO \cdot tg\angle BAO,\]

    \[BO = \frac{D}{2} \cdot tg\frac{\alpha }{2},BD = 2 \cdot BO,\]

    \[BD = 2 \cdot \frac{D}{2} \cdot tg\frac{\alpha }{2} = D \cdot tg\frac{\alpha }{2}.\]

По определению косинуса,

    \[\cos \angle BAO = \frac{{AO}}{{AB}}, \Rightarrow AB = \frac{{AO}}{{\cos \angle BAO}},\]

    \[AB = \frac{{\frac{D}{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{D}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}}.\]

Периметр ромба 

    \[P = 4 \cdot AB = \frac{{4D}}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2D}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}},\]

площадь

    \[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD,\]

    \[S = \frac{1}{2} \cdot D \cdot D \cdot tg\frac{\alpha }{2} = \frac{{{D^2}}}{2} \cdot tg\frac{\alpha }{2}.\]

dany-bolshaya-diagonal-i-ostryj-ugol-rombaОпустим перпендикуляр OF из точки пересечения диагоналей к стороне AD. OF — радиус вписанной в ромб окружности. Из прямоугольного треугольника AOF

    \[OF = AO \cdot \sin \angle OAF,\]

    \[r = \frac{D}{2} \cdot \sin \frac{\alpha }{2}.\]

Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной окружности, следовательно,

    \[h = 2r = 2 \cdot \frac{D}{2} \cdot \sin \frac{\alpha }{2} = D \cdot \sin \frac{\alpha }{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>