Вершины треугольника делят описанную около него окружность на дуги

Если вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, как найти её радиус?

Задача.

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найти радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 20.

vershiny-treugolnika-delyat-opisannuyu-okolo-nego-okruzhnostДано: ∆ABC,

окр (O: R) — описанная,

AC=20,

    \[ \cup AC: \cup CB: \cup BA = 3:7:8\]

Найти: R.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда дуги, на которые точки A, B и C делят окружность, равны

    \[ \cup AC = 3{k^o}, \cup CB = 7{k^o}, \cup BA = 8{k^o}.\]

Так как градусная мера всей окружности равна 360º, то

    \[3k + 7k + 8k = 360\]

    \[18k = 360\]

    \[k = 20\]

Значит, градусная мера наименьшей дуги AC равна 3∙20=60º.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а угол ABC опирается на дугу AC, то

    \[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 60 = {30^o}.\]

По формуле

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }},\]

радиус описанной около треугольника ABC окружности равен

    \[R = \frac{{AC}}{{2\sin \angle ABC}},\]

    \[R = \frac{{20}}{{2 \cdot \sin {{30}^o}}} = \frac{{20}}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = 20.\]

Ответ: 20.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>