Медиана делит треугольник

Утверждение.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади.

То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам).

mediana-delit-treugolnikДано: ABC,

BM — медиана.

Доказать:

    \[{S_{\Delta ABM}} = {S_{\Delta CBM}}\]

Доказательство:

По формуле

    \[S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \]

    \[{S_{\Delta ABM}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM \cdot \sin \angle AMB,\]

    \[{S_{\Delta CBM}} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BM \cdot \sin \angle CMB.\]

mediana-delit-treugolnik-na-dva∠AMB +∠CMB=180º (как смежные).

Так как sin(180º-α)=sin α, то

sin∠CMB=sin(180º-∠AMB)=sin∠AMB.

CM=AM (так как BM- медиана треугольника ABC).

Следовательно,

    \[{S_{\Delta CBM}} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BM \cdot \sin \angle CMB = \]

    \[ = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM \cdot \sin \angle AMB = {S_{\Delta ABM}}\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>