Медиана делит треугольник

Утверждение.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади.

То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам).

mediana-delit-treugolnikДано: ABC,

BM — медиана.

Доказать:

    \[{S_{\Delta ABM}} = {S_{\Delta CBM}}\]

Доказательство:

1 способ:

По формуле

    \[S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \]

    \[{S_{\Delta ABM}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM \cdot \sin \angle AMB,\]

    \[{S_{\Delta CBM}} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BM \cdot \sin \angle CMB.\]

mediana-delit-treugolnik-na-dva∠AMB +∠CMB=180º (как смежные).

Так как sin(180º-α)=sin α, то

sin∠CMB=sin(180º-∠AMB)=sin∠AMB.

CM=AM (так как BM- медиана треугольника ABC).

Следовательно,

    \[{S_{\Delta CBM}} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BM \cdot \sin \angle CMB = \]

    \[ = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM \cdot \sin \angle AMB = {S_{\Delta ABM}}\]

Что и требовалось доказать.

2 способ:

mediana-delit-ploshchad-treugolnikaПроведём высоту BH.

По формуле

    \[S = \frac{1}{2}a \cdot h_a \]

    \[S_{\Delta ABM} = \frac{1}{2}AM \cdot BH,\]

    \[S_{\Delta CBM} = \frac{1}{2}AM \cdot BH.\]

Так как AM=CM, то 

    \[S_{\Delta ABM} = S_{\Delta CBM} .\]

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Alex 03.04.2019 17:08 Ответить

    а можно попроще? без син, мы их не изучали

    • admin 19.05.2019 22:10 Ответить

      Alex, утверждение доказано двумя способами.

Добавить комментарий