Котангенс 60 градусов

Котангенс 60 градусов найдем на основании определения котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Утверждение.

    \[ctg{60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Доказательство:

kotangens 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 60 градусов:

∠C=90º, ∠A=60º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º,

    \[\angle B = {90^o} - \angle A = {30^o}.\]

А так как катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы, то

    \[AC = \frac{1}{2}AB, \Rightarrow AB = 2AC\]

Пусть AC=a, тогда AB=2a.

По теореме Пифагора найдем BC:

    \[B{C^2} + A{C^2} = A{B^2}\]

    \[B{C^2} = A{B^2} - A{C^2}\]

    \[B{C^2} = {(2a)^2} - {a^2} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}\]

    \[BC = \sqrt {3{a^2}}  = a\sqrt 3 .\]

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника,

    \[ctg\angle A = \frac{{AC}}{{BC}}.\]

Таким образом,

    \[ctg{60^o} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]

Иррациональность в знаменателе оставлять не принято. Умножаем числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трех:

    \[ctg{60^o} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{1 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Если перевести 60 градусов в радианы, получим

    \[{60^o} = \frac{\pi }{3}\]

Значит, котангенс пи на три равен

    \[ctg\frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>