Биссектриса делит площадь

Утверждение

Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам.

bissektrisa-delit-ploshchad-treugolnikaДано: ∆ABC,

BP — биссектриса

Доказать:

    \[\frac{{{S_{\Delta ABP}}}}{{{S_{\Delta CBP}}}} = \frac{{AB}}{{BC}}\]

Доказательство:

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

    \[S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \]

Значит

    \[{S_{\Delta ABP}} = \frac{1}{2}AB \cdot BP \cdot \sin \angle ABP,\]

    \[{S_{\Delta CBP}} = \frac{1}{2}CB \cdot BP \cdot \sin \angle CBP.\]

Так как BP — биссектриса треугольника ABC, то ∠ABP=∠CBP, отсуда sin∠ABP=sin∠CBP.

Таким образом,

    \[\frac{{{S_{\Delta ABP}}}}{{{S_{\Delta CBP}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AB \cdot BP \cdot \sin \angle ABP}}{{\frac{1}{2}CB \cdot BP \cdot \sin \angle CBP}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\]

Что и требовалось доказать.

Задача

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части 5 и 6. Меньшая из двух других сторон равна 15. Найти площади частей, на которые биссектриса делит исходный треугольник.

bissektrisa-delit-ploshchadДано: ∆ABC,

BP — биссектриса, AP=5, CP=6, AB=15

Найти:

    \[{S_{\Delta ABP}},{S_{\Delta CBP}}\]

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника,

    \[\frac{{AB}}{{AP}} = \frac{{CB}}{{CP}}, \Rightarrow \frac{{15}}{5} = \frac{{CB}}{6},\]

откуда BC=18. AC=AP+CP=11.

Площадь треугольника ABC найдём по формуле Герона.

    \[p = \frac{{15 + 18 + 11}}{2} = 22,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {22(22 - 15)(22 - 18)(22 - 11)}  = \]

    \[ = \sqrt {22 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 11}  = 22\sqrt {14} .\]

Так как биссектриса делит площадь треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам,

    \[\frac{{{S_{\Delta ABP}}}}{{{S_{\Delta CBP}}}} = \frac{{AB}}{{BC}}\]

Пусть

    \[{S_{\Delta ABP}} = x, \Rightarrow {S_{\Delta CBP}} = 22\sqrt {14}  - x.\]

Отсюда

    \[\frac{x}{{22\sqrt {14}  - x}} = \frac{{15}}{{18}},\frac{x}{{22\sqrt {14}  - x}} = \frac{5}{6}\]

и

    \[6x = 110\sqrt {14}  - 5x\]

    \[11x = 110\sqrt {14} ,x = 10\sqrt {14} .\]

Таким образом,

    \[{S_{\Delta ABP}} = 10\sqrt {14} ,{S_{\Delta CBP}} = 12\sqrt {14} .\]

Ответ: 10√14 и 12√14.

Добавить комментарий