Задача
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти AB, если AF=24, BF=10.
Решение основано на свойстве биссектрис при боковой стороне трапеции, которое в ходе решения задачи надо доказать.
Дано:ABCD — трапеция, AD∥BC, AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, AF∩BF=F, AF=24, BF=10
Найти: AB
Задача
Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.
Задача
Четырехугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60º. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Дано: ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность (O;R), AB=40, CD=10, AC∩BD=K, ∠AKB=60º
Найти: R
Решение:
Утверждение
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
Дано: окружность (O; R),
AB и CD — хорды, AB∩CD=F
Доказать:
![\[\angle AFD = \frac{1}{2}( \cup AD + \cup BC)\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31c90f633057fd6ffb1e9961ee0267fa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача
Точка Н является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найти PK, если BH=19.
Дано: ∆ABC, BH — высота,
BH — диаметр окружности (O; R), BH=19, окр.(O;R)∩AB=P, окр.(O;R)∩BC=K
Найти: PK
Вписанный прямой угол обладает свойством, непосредственно вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Утверждение
Вписанный прямой угол опирается на диаметр.
(другой вариант:
вписанный прямой угол опирается на полуокружность).
Дано: окружность (O;R), ∠ABC — вписанный угол,
∠ABC=90º
Доказать: AC — диаметр
Доказательство:
Задача
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СH, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCH и ACH с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CH.
Дано: ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,
окружность (O1;r1) вписана в ∆ACH, r1=12,
окружность (O2;r2) вписана в ∆CBH, r2=5
Найти: CH.