Биссектрисы углов A и B при боковой |

Задача

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти AB, если AF=24, BF=10.

Решение основано на свойстве биссектрис при боковой стороне трапеции, которое в ходе решения задачи надо доказать.

bissektrisy-uglov-a-i-b-pri-bokovoj Дано:ABCD — трапеция, AD∥BC, AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, AF∩BF=F, AF=24, BF=10

Найти: AB

Решение:

$\angle BAD + \angle ABC = {180^o}$

Так как AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, то

$\angle BAF = \frac{1}{2}\angle BAD,\angle ABF = \frac{1}{2}\angle ABC.$

Значит,

$\angle BAF + \angle ABF = \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ABC =$

$= \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.$

Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABF

$\angle BFA = {180^o} - (\angle BAF + \angle ABF) =$

$= {180^o} - {90^o} = {90^o}.$

$A{B^2} = A{F^2} + B{F^2},$

$A{B^2} = {24^2} + {10^2} = 676,$

$AB = 26.$

Ответ: 26.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне трапеции