Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема

(обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.

Дано: ∆ABC,

   

Доказать: ∠C=90º

Доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C1.

Отложим на его сторонах отрезки C1A1=CA и C1B1=CB.

Проведём отрезок A1B1.

Получили треугольник A1B1C1, в котором ∠C1=90º.

В прямоугольном треугольнике A1B1C1 применим теорему Пифагора:

   

Таким образом,

   

Итак, в треугольниках ABC и A1B1C1:

C1A1=CA и C1B1=CB (по построению),

A1B1=AB (по доказанному).

Следовательно, ∆A1B1C1=∆ABC (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠C=∠C1=90º.

Что и требовалось доказать.