треугольник разделен высотой | Треугольники

Треугольник разделен высотой

Задача

Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СH, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCH и ACH с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CH.

treugolnik-razdelen-vysotoj Дано: ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,

окружность (O1;r1) вписана в ∆ACH, r1=12,

окружность (O2;r2) вписана в ∆CBH, r2=5

Найти: CH.

Решение:

Высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник ABC на два подобных треугольника: ∆ACH ∼∆CBH.

Следовательно,

    \[\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{12}}{5}\]

Пусть k — коэффициент подобия. Тогда AC=12k, BC=5k.

Рассмотрим треугольник ABC, ∠C=90º. По теореме Пифагора 

    \[AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} ,\]

    \[AB = \sqrt {{{(12k)}^2} + {{(5k)}^2}} = 13k.\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CH,\]

    \[CH = \frac{{AC \cdot BC}}{{AB}}\]

    \[CH = \frac{{12k \cdot 5k}}{{13k}} = \frac{{60k}}{{13}}.\]

Так как BH — проекция катета BC на гипотенузу AB,

    \[B{C^2} = BH \cdot AB,\]

    \[BH = \frac{{B{C^2}}}{{AB}} = \frac{{25{k^2}}}{{13k}} = \frac{{25}}{{13}}k.\]

Рассмотрим треугольник CBH.

Радиус вписанной  окружности 

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},{r_2} = \frac{{CH + BH - BC}}{2},\]

    \[5 = \frac{{\frac{{60}}{{13}}k + \frac{{25}}{{13}}k - 5k}}{2}, \Rightarrow k = \frac{{13}}{2}.\]

    \[CH = \frac{{60}}{{13}} \cdot \frac{{13}}{2} = 30.\]

Ответ: 30.

2-й способ.

Утверждение.

Высота, проведённая к гипотенузе, равна сумме радиусов вписанной в этот треугольник окружности и радиусов вписанных окружностей треугольников, на которые данный треугольник делит высота.

Доказательство:

    \[r = \frac{{AC + BC - AB}}{2},\]

    \[{r_1} = \frac{{AH + CH - AC}}{2},\]

    \[{r_2} = \frac{{BH + CH - BC}}{2}.\]

Сложим почленно эти три равенства:

    \[r + {r_1} + {r_2} = \]

    \[ = \frac{{AC + BC - AB + AH + CH - AC + BH + CH - BC}}{2}\]

так как AH+BH=AB, AH+BH-AB=0

    \[r + {r_1} + {r_2} = \frac{{2CH}}{2} = CH.\]

Что и требовалось доказать.

Для нашей задачи остается найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

Из подобия треугольников ABC и ACH

    \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{r}{{{r_1}}}, \Rightarrow \frac{r}{{12}} = \frac{{13k}}{{12k}},\]

Отсюда r=13, CH=13+12+5=30.

Попутно можно доказать ещё одно утверждение о связи трёх радиусов.

Утверждение.

Высота, проведённая к гипотенузе, делит исходный треугольник на два треугольника, а радиус данного треугольника  равен квадратному корню из суммы квадратов радиусов окружностей, вписанных в полученные треугольники:

    \[ r = \sqrt {r_1^2 + r_2^2 } . \]

Доказательство:

Поскольку треугольники ABC, ACH и CBH подобны, а площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

    \[ + \frac{\begin{array}{l} \frac{{S_{\Delta ACH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_1^2 }}{{r^2 }}, \\ \frac{{S_{\Delta CBH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_2^2 }}{{r^2 }} \\ \end{array}}{{\frac{{S_{\Delta ACH} }}{{S_{\Delta ABC} }} + \frac{{S_{\Delta CBH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_1^2 }}{{r^2 }} + \frac{{r_2^2 }}{{r^2 }}}} \]

Отсюда

    \[ \frac{{S_{\Delta ACH} + S_{\Delta CBH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_1^2 + r_2^2 }}{{r^2 }} \]

Так как

    \[ S_{\Delta ACH} + S_{\Delta CBH} = S_{\Delta ABC} , \]

то

    \[ \frac{{r_1^2 + r_2^2 }}{{r^2 }} = 1, \]

    \[ r^2 = r_1^2 + r_2^2 , \]

    \[ r = \sqrt {r_1^2 + r_2^2 } . \]

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Анастасия 12.12.2017 21:08 Ответить

    Здравствуйте! У вас здесь допущена ошибка в обозначении высоты в условиях задачи в самом тексте: В одном месте пишете, что высота — это CD, а в другом уже СH

    • admin 19.12.2017 22:42 Ответить

      Анастасия, опечатку исправила. Спасибо, что обратили мое внимание на эту задачу. Сейчас допишу еще один вариант решения.

Добавить комментарий