Треугольник разделен высотой

Треугольник разделен высотой

Задача

Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СH, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCH и ACH с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CH.

treugolnik-razdelen-vysotoj Дано: ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,

окружность (O1;r1) вписана в ∆ACH, r1=12,

окружность (O2;r2) вписана в ∆CBH, r2=5

Найти: CH.

Решение:

Высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник ABC на два подобных треугольника: ∆ACH ∼∆CBH.

Следовательно,

    \[\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{12}}{5}\]

Пусть k — коэффициент подобия. Тогда AC=12k, BC=5k.

Рассмотрим треугольник ABC, ∠C=90º. По теореме Пифагора 

    \[AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} ,\]

    \[AB = \sqrt {{{(12k)}^2} + {{(5k)}^2}}  = 13k.\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CH,\]

    \[CH = \frac{{AC \cdot BC}}{{AB}}\]

    \[CH = \frac{{12k \cdot 5k}}{{13k}} = \frac{{60k}}{{13}}.\]

Так как BH — проекция катета BC на гипотенузу AB,

    \[B{C^2} = BH \cdot AB,\]

    \[BH = \frac{{B{C^2}}}{{AB}} = \frac{{25{k^2}}}{{13k}} = \frac{{25}}{{13}}k.\]

Рассмотрим треугольник CBH.

Радиус вписанной  окружности 

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},{r_2} = \frac{{CH + BH - BC}}{2},\]

    \[5 = \frac{{\frac{{60}}{{13}}k + \frac{{25}}{{13}}k - 5k}}{2}, \Rightarrow k = \frac{{13}}{2}.\]

    \[CH = \frac{{60}}{{13}} \cdot \frac{{13}}{2} = 30.\]

Ответ: 30.

2-й способ.

Утверждение.

Высота, проведённая к гипотенузе, равна сумме радиусов вписанной в этот треугольник окружности и радиусов вписанных окружностей треугольников, на которые данный треугольник делит высота.

Доказательство:

    \[r = \frac{{AC + BC - AB}}{2},\]

    \[{r_1} = \frac{{AH + CH - AC}}{2},\]

    \[{r_2} = \frac{{BH + CH - BC}}{2}.\]

Сложим почленно эти три равенства:

    \[r + {r_1} + {r_2} = \]

    \[ = \frac{{AC + BC - AB + AH + CH - AC + BH + CH - BC}}{2}\]

так как AH+BH=AB, AH+BH-AB=0

    \[r + {r_1} + {r_2} = \frac{{2CH}}{2} = CH.\]

Что и требовалось доказать.

Для нашей задачи остается найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

Из подобия треугольников ABC и ACH

    \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{r}{{{r_1}}}, \Rightarrow \frac{r}{{12}} = \frac{{13k}}{{12k}},\]

Отсюда r=13, CH=13+12+5=30.

Попутно можно доказать ещё одно утверждение о связи трёх радиусов.

Утверждение.

Высота, проведённая к гипотенузе, делит исходный треугольник на два треугольника, а радиус данного треугольника  равен квадратному корню из суммы квадратов радиусов окружностей, вписанных в полученные треугольники:

    \[ r = \sqrt {r_1^2 + r_2^2 } . \]

Доказательство:

Поскольку треугольники ABC, ACH и CBH подобны, а площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

    \[ + \frac{\begin{array}{l} \frac{{S_{\Delta ACH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_1^2 }}{{r^2 }}, \\ \frac{{S_{\Delta CBH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_2^2 }}{{r^2 }} \\ \end{array}}{{\frac{{S_{\Delta ACH} }}{{S_{\Delta ABC} }} + \frac{{S_{\Delta CBH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_1^2 }}{{r^2 }} + \frac{{r_2^2 }}{{r^2 }}}} \]

Отсюда

    \[ \frac{{S_{\Delta ACH} + S_{\Delta CBH} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{r_1^2 + r_2^2 }}{{r^2 }} \]

Так как

    \[ S_{\Delta ACH} + S_{\Delta CBH} = S_{\Delta ABC} , \]

то

    \[ \frac{{r_1^2 + r_2^2 }}{{r^2 }} = 1, \]

    \[ r^2 = r_1^2 + r_2^2 , \]

    \[ r = \sqrt {r_1^2 + r_2^2 } . \]

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Здравствуйте! У вас здесь допущена ошибка в обозначении высоты в условиях задачи в самом тексте: В одном месте пишете, что высота — это CD, а в другом уже СH

    1. Анастасия, опечатку исправила. Спасибо, что обратили мое внимание на эту задачу. Сейчас допишу еще один вариант решения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *