Рассмотрим подобие треугольников в прямоугольном треугольнике.
Утверждение 1
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.
Дано: ∆ABC, ∠C=90º,
CH — высота.
Доказать: ∆ACH ∼∆ABC,
∆CBH ∼∆ABC,
∆ACH ∼∆CBH.
Задача
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны.
Доказать, что углы ABD и ACD также равны.
Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,
∠BCA=∠BDA
Доказать:
∠ABD=∠ACD
Доказательство:
Задача.
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках F и K соответственно. Доказать, что BF=DK.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AC∩BD=O, O∈FK,
FK∩BC=F, FK∩AD=K
Доказать: BF=DK
Эти утверждения могут быть полезны при решении задач на внешне касающиеся окружности.
Утверждение 1
Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.
Если две окружности с разными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.
Рассмотрим еще одну задачу на подобие треугольников.
Задача
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD=18. Доказать, что треугольники CBD и BDA подобны.
Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,
BC=9, AD=36, BD=18
Если две окружности касаются внешне, как найти угол между их общими внешними касательными?
Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, CK и CM — их общие внешние касательные.
Найти: ∠KCM
Утверждение
Если две окружности касаются внешне, то отрезки общих касательных равны между собой.
Пусть окружность (O1;R) и окружность (O2;r) касаются внешним образом в точке H,
A, B, C, D — точки касания окружностей с общими внешними касательными,
P — точка пересечения общих внешних касательных.
F и K — точки пересечения внутренней общей касательной с внешними.