Утверждение
Если две окружности касаются внешне, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.
Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, AB — общая касательная,
окр. (O1; R)∩AB=A, окр.(O2; r)∩AB=B.
Доказать:
![\[AB = 2\sqrt {Rr} \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf2f4d8f376b2053ef7f35661aad2d28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Утверждение
Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, перпендикулярны.
Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке B, AC — общая касательная,
окр. (O1; R)∩AC=A, окр.(O2; r)∩AC=C.
Утверждение
Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.
Если две окружности с различными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.
Утверждение
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам.
Дано: ∆ABC,
BP — биссектриса
Доказать:
![\[\frac{{{S_{\Delta ABP}}}}{{{S_{\Delta CBP}}}} = \frac{{AB}}{{BC}}\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00cfbeab65f04ede13ec07bcbf72be71_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказательство:
Определение.
Окружность называется вписанной в угол, если она касается сторон угла.
Утверждение
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Дано:
окружность (O; R) вписана в угол ABC, O∈BD
Доказать: BD — биссектриса ∠ABD
Свойство биссектрисы угла
Любая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон этого угла.
Да
но: BD — биссектриса ∠ABC, F∈BD,
![\[FK \bot AB,FP \bot BC\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6b3a6ec381dfba47d5e033ee6fd200c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказать: FK=FP
Доказательство:
Определение
Биссектриса угла — это луч, которых выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит этот угол на два равных угла.
(Название — от латинского bis — дважды и seco — рассекаю).
Например, BD — биссектриса угла ABC,
∠ABD=∠CBD.