Свойство биссектрисы угла

Свойство биссектрисы угла

Любая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон этого угла.

Дано: BD — биссектриса ∠ABC, F∈BD,

   

Доказать: FK=FP

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BFK и BFP.

∠BKF=∠BPF=90º, ∠KBF=∠PBF (так как по условию BD — биссектриса ∠ABC).

BF — общая сторона.

Значит, ∆BFK=∆BFP (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: FK=FP.

Что и требовалось доказать.

Обратно:

Любая точка внутри неразвёрнутого угла, равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе.

Треугольники BFK и BFP в этом случае равны по катету и гипотенузе (FK=FP по условию, BF — общая сторона). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠KBF=∠PBF, а значит, BD — биссектриса ∠ABC.