Центр окружности, вписанной в угол

Определение.

Окружность называется вписанной в угол, если она касается сторон угла.

Утверждение

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Дано:

окружность (O; R) вписана в угол ABC, O∈BD

Доказать: BD — биссектриса ∠ABD

Доказательство:

Проведём из точки O радиусы OF и OP в точки касания.OF=OP=R

   

(по свойству касательной), сторона BO — общая.

Значит, прямоугольные треугольники BOF и BOP равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠FBO=∠PBO.

Следовательно, BO — биссектриса угла ABC.

Что и требовалось доказать.

2-й способ

OF=OP (как радиусы). Значит, точка O равноудалена от сторон угла ABC. А так как  любая точка внутри неразвёрнутого угла, равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то BO — биссектриса угла ABC.