Свойство биссектрисы угла

Свойство биссектрисы угла

Любая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон этого угла.

Даsvojstvo-bissektrisy-uglaно: BD — биссектриса ∠ABC, F∈BD,

    \[FK \bot AB,FP \bot BC\]

Доказать: FK=FP

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BFK и BFP.

∠BKF=∠BPF=90º, ∠KBF=∠PBF (так как по условию BD — биссектриса ∠ABC).

BF — общая сторона.

Значит, ∆BFK=∆BFP (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: FK=FP.

Что и требовалось доказать.

Обратно:

Любая точка внутри неразвёрнутого угла, равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе.

Треугольники BFK и BFP в этом случае равны по катету и гипотенузе (FK=FP по условию, BF — общая сторона). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠KBF=∠PBF, а значит, BD — биссектриса ∠ABC.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>