Разность векторов

Определение

Разность векторов

    \[\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )\]

и

    \[\overrightarrow b (b_1 ;b_2 )\]

— это такой вектор

    \[\overrightarrow c (c_1 ;c_2 ),\]

который в сумме с вектором b даёт вектор a:

    \[\overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow a .\]

На основе определения находим координаты вектора

    \[\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b :\]

    \[c_1 = a_1 - b_1 ;c_2 = a_2 - b_2 ,\]

то есть

    \[(\overrightarrow {a_1 ;a_2 } ) - (\overrightarrow {b_1 ;b_2 } ) = (\overrightarrow {c_1 ;c_2 } ).\]

Например,

    \[\overrightarrow a (12; - 5) - \overrightarrow b (7; - 3) = \overrightarrow c (5; - 2).\]

Как построить разность двух векторов?

1 способ

raznost-vektorovИз равенства

    \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \]

следует

    \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} .\]

Отсюда получаем

vychitanie-vektorov

правило построения разности двух векторов

Чтобы построить вектор, равный разности векторов

    \[\overrightarrow a - \overrightarrow b ,\]

надо отложить оба вектора от одной точки. Разность векторов — вектор, проведённый от конца вычитаемого b к концу уменьшаемого a.

 

Определение

Противоположные векторы — это противоположно направленные векторы одинаковой длины.

Вектор, противоположный вектору

    \[\overrightarrow a ,\]

обозначают

    \[- \overrightarrow a .\]

protivopolozhnye-vektoryПримеры противоположных векторов:

    \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ;\]

    \[\overrightarrow a ; - \overrightarrow a .\]

 

 

 

Свойства противоположных векторов:

1) Противоположные векторы имеют противоположные координаты:

    \[\overrightarrow {\rm{a}} (a_1 ;a_2 ), - \overrightarrow {\rm{a}} ( - a_1 ; - a_2 ).\]

Пусть даны точки

    \[{\rm{A(x}}_{\rm{1}} ;y_1 ),B(x_2 ;y_2 ).\]

По определению координат вектора

    \[\overrightarrow {AB} (x_2 - x_1 ;y_2 - y_1 ),\]

    \[\overrightarrow {BA} (x_1 - x_2 ;y_1 - y_2 ) = ( - (x_2 - x_1 ); - (y_2 - y_1 )).\]

2) Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

    \[\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow {0.} \]

    \[\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = (\overrightarrow {a_1 ;a_2 } ) + (\overrightarrow { - a_1 ; - a_2 } ) = (\overrightarrow {0;0} ) = \overrightarrow {0.} \]

2 способ построения разности векторов

raznost-vektorovЧтобы построить разность векторов

    \[\overrightarrow a - \overrightarrow b ,\]

можно к вектору a прибавить вектор, противоположный вектору b:

    \[\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ).\]

То есть вычитание векторов заменяем сложением уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому.

kak-vychitat-vektory

Добавить комментарий