Площадь трапеции через основания и диагонали

Как  найти площадь трапеции через ее основания и диагонали?

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поскольку основания известны, задача может быть сведена к нахождению высоты трапеции.

На самом деле, зная основания и диагонали, можно найти площадь трапеции и без высоты.

ploshchad-trapecii-cherez-diagonali-i-osnovaniyaДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AD=a, BC=b,

AC=d1, BD=d2

Найти:

    \[{S_{ABCD}}\]

Решение:

najti-ploshchad-trapecii-po-diagonalyam-i-osnovaniyu1) Проведём

    \[CK \bot AD.\]

Через точку C проведем прямую, параллельную диагонали BD. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой, содержащей основание AD трапеции через F:

    \[CF\parallel BD,CF \cap AD = F.\]

2) В четырехугольнике BCFD AF∥BC (как прямые, содержащие основания трапеции), BD∥CF (по построению). Значит, BCFD — параллелограмм (по определению). Следовательно, его противоположные стороны равны: DF=BC=a, CF=BD=d2.

3) Рассмотрим треугольник ACF. AF=AD+DF=a+b.

Площадь треугольника ACF равна 

    \[{S_{\Delta ACF}} = \frac{1}{2}AF \cdot CK\]

Так как AF=AD+DF,

    \[{S_{\Delta ACF}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CK = {S_{ABCD}}\]

Все три стороны треугольника ACF известны, поэтому его площадь можно найти по формуле Герона

    \[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} ,\]

    \[p = \frac{{a + b + c}}{2}.\]

Вместо a, b и c подставляем a+b, d1 и d2. Получаем:

    \[p = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2},\]

    \[p - a = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} - (a + b) = \frac{{{d_1} + {d_2} - (a + b)}}{2},\]

    \[p - b = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} - {d_1} = \frac{{a + b + {d_2} - {d_1}}}{2},\]

    \[p - c = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} - {d_2} = \frac{{a + b + {d_1} - {d_2}}}{2}.\]

    \[p(p - a)(p - b)(p - c) = \]

    \[ = \frac{{a + b + {d_1} + {d_2}}}{2} \cdot \frac{{{d_1} + {d_2} - (a + b)}}{2} \times \]

    \[ \times \frac{{a + b + {d_2} - {d_1}}}{2} \cdot \frac{{a + b + {d_1} - {d_2}}}{2} = \]

    \[ = \frac{1}{{16}}({({d_1} + {d_2})^2} - {(a + b)^2})({(a + b)^2} - {({d_1} - {d_2})^2})\]

Таким образом, площадь трапеции через основания и диагонали может быть найдена по формуле

    \[S = \frac{1}{4}\sqrt {({{({d_1} + {d_2})}^2} - {{(a + b)}^2})({{(a + b)}^2} - {{({d_1} - {d_2})}^2})} .\]

Запоминать её не нужно, достаточно провести аналогичные рассуждения для своей задачи и по формуле Герона вычислить площадь треугольника, стороны которого равны диагоналям трапеции и сумме её оснований.

Задача.

Основания трапеции равны 10 см и 90 см, а диагонали равны 75 см и 35 см. Найти площадь трапеции.

ploshchad-trapecii-po-osnovaniyam-i-diagonalyamПроводим дополнительные построения и доказываем, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACF. Затем находим его площадь по формуле Герона:

    \[p = \frac{{AF + AC + CF}}{2} = \frac{{100 + 35 + 75}}{2} = 105(cm),\]

    \[{S_{\Delta ACF}} = \sqrt {105(105 - 100)(105 - 35)(105 - 75)}  = 1050(c{m^2}),\]

    \[{S_{ABCD}} = {S_{\Delta ACF}} = 1050(c{m^2}).\]

Ответ: 1050 см².

В следующий раз рассмотрим, как по основаниям и диагонали найти площадь равнобедренной трапеции.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>