Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке

В прошлый раз мы рассмотрели свойства параллелограмма, в котором точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис двух углов па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, при­над­ле­жит его про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Перейдем к примерам использования этих свойств.

Задача 1.

Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Найти периметр параллелограмма, если его большая сторона равна 40 см.

bissektrisy-uglov-parallelogramma-peresekayutsya-v-tochkeДано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC, BC=20 см.

Найти:

    \[{P_{ABCD}}.\]

Решение:

Если биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне, то одна сторона параллелограмма в два раза больше другой. Значит,

    \[AB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20cm.\]

Периметр параллелограмма ABCD равен

    \[{P_{ABCD}} = 2(AB + BC),\]

    \[{P_{ABCD}} = 2(20 + 40) = 120cm.\]

Ответ: 120 см.

Задача 2.

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, F, принадлежащей  сто­ро­не BC. ∠D=120º, DF=8. Найти периметр ABCD и AF.

bissektrisy-uglov-parallelogramma-peresekayutsyaДано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC,

∠D=120º, DF=8.

Найти:

    \[{P_{ABCD}},AF.\]

Решение:

bissektrisy-parallelogramma-peresekayutsya-v-tochkeРассмотрим треугольник AFD.

Так как биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны, то ∠AFD=90º.

Так как FD- биссектриса угла ADC, то

    \[\angle ADF = \angle CDF = \frac{1}{2}\angle ADC = {60^o}.\]

    \[AF = DF \cdot tg\angle ADF = 8 \cdot tg{60^o} = 8\sqrt 3 ,\]

    \[AD = \frac{{DF}}{{\cos \angle ADF}} = \frac{8}{{\cos {{60}^o}}} = \frac{8}{{\frac{1}{2}}} = 16.\]

Так как биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, треугольник CDF — равнобедренный с основанием DF. А так как ∠CDF=60º, то треугольник CDF — равносторонний, и CD=DF=8.

Так как биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне, то одна сторона параллелограмма в два раза больше другой: BC=2AB.

    \[{P_{ABCD}} = 2(AD + CD),\]

    \[{P_{ABCD}} = 2(16 + 8) = 48.\]

Ответ: 48; 8√3.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>