Площадь равнобедренной трапеции по основаниям и диагонали

Как найти площадь равнобедренной трапеции по основаниям и диагонали?

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поскольку основания уже известны, остаётся найти высоту трапеции.

ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-po-osnovaniyam-i-diagonaliДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC,AB=CD,

AD=a, BC=b, AC=d

Найти:

    \[{S_{ABCD}}\]

Решение:

v-ravnobedrennoj-trapecii-po-osnovaniyam-i-diagonali-najti-ploshchadПроведем высоту трапеции

    \[BF \bot AD.\]

По свойству равнобедренной трапеции,

    \[FD = \frac{{AD + BC}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDF.

По теореме Пифагора

    \[B{D^2} = B{F^2} + F{D^2}, \Rightarrow BF = \sqrt {B{D^2} - F{D^2}} \]

    \[BF = \sqrt {{d^2} - {{(\frac{{a + b}}{2})}^2}}  = \sqrt {\frac{{4{d^2} - {{(a + b)}^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {4{d^2} - {{(a + b)}^2}} .\]

По формуле

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

находим площадь трапеции ABCD

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BF,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{a + b}}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt {4{d^2} - {{(a + b)}^2}}  = \frac{{a + b}}{4}\sqrt {4{d^2} - {{(a + b)}^2}} .\]

Запоминать эту формулу не нужно. При решении конкретной задачи достаточно провести аналогичные рассуждения, найти высоту трапеции и подставить её в стандартную формулу для нахождения площади трапеции.

Задача.

Основания равнобедренной трапеции равны 38 см и 22 см. Найти площадь трапеции, если её диагональ равна 50 см.

najti-ploshchad-ravnobedrennoj-trapecii-cherez-osnovaniya-i-diagonalРешение:

    \[FD = \frac{{AD + BC}}{2} = \frac{{38 + 22}}{2} = 30(cm).\]

    \[BF = \sqrt {B{D^2} - F{D^2}}  = \sqrt {{{50}^2} - {{30}^2}}  = 40(cm),\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BF = \frac{{38 + 22}}{2} \cdot 40 = 1200(c{m^2}).\]

Ответ: 1200 см².

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>