Катет и медиана к гипотенузе

Что можно сказать о прямоугольном треугольнике, если известен его катет и медиана, проведенная к гипотенузе?

По катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла, можно найти гипотенузу и второй катет. Зная все стороны прямоугольного треугольника, можно найти его периметр, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей.

katet-i-mediana-k-gipotenuzeДано: ∆ABC, ∠C=90º,

BC=a, CF — медиана,

CF=m.

Найти:

    \[{P_{\Delta ABC}},{S_{\Delta ABC}},r,R.\]

Решение:

1) Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то

    \[AB = 2 \cdot CF = 2m.\]

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора

    \[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2},\]

    \[AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} ,\]

    \[AC = \sqrt {{{(2m)}^2} - {a^2}}  = \sqrt {4{m^2} - {a^2}} .\]

2) Периметр треугольника ABC равен

    \[{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC,\]

    \[{P_{\Delta ABC}} = 2m + a + \sqrt {4{m^2} - {a^2}} .\]

3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, поэтому

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt {4{m^2} - {a^2}} }}{2}.\]

4) Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник окружности и радиус R описанной окружностисоответственно равны

    \[r = \frac{{a + b - c}}{2},R = \frac{c}{2},\]

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Соответственно, если один из катетов равен a, а медиана, проведённая к гипотенузе — m, то радиусы вписанной и описанной окружности можно найти как

    \[r = \frac{{a + \sqrt {4{m^2} - {a^2}}  - 2m}}{2},R = m.\]

Через катет и медиану, проведенную к гипотенузе, могут быть также найдены синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов и другие соотношения.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>