Косинус 18 градусов

Косинус 18 градусов (cos 18°) можно найти через синус 18 градусов.

Так как

    \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\]

    \[{\cos ^2}{18^o} = 1 - {\sin ^2}{18^o}.\]

Подставив значение sin 18°, имеем:

    \[{\cos ^2}{18^o} = 1 - {(\frac{{\sqrt 5 - 1}}{4})^2} = 1 - \frac{{5 - 2\sqrt 5 + 1}}{{16}} = \]

    \[ = 1 - \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{16}} = 1 - \frac{{2(3 - \sqrt 5 )}}{{16}} = {1^{\backslash 8}} - \frac{{3 - \sqrt 5 }}{8} = \]

    \[ = \frac{{8 - (3 - \sqrt 5 )}}{8} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}.\]

Следовательно,

    \[\cos {18^o} = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} = \frac{{\sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{2\sqrt 2 }}.\]

Если нужна формула без иррациональности в знаменателе, преобразуем  выражение:

    \[\cos {18^o} = \frac{{\sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {5 + \sqrt 5 } \cdot \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}.\]

Добавить комментарий