Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

pravilnyj-pyatiugolnikТак как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A2A1A5=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A1O A2, равен

∠A1O A2=360º:5=72º.

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

pravilnyj-pyatiugolnik-radius-opisannoj-okruzhnosti

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника,  боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

В треугольнике A1OA5

    \[{A_1}{A_5} = a,\]

    \[{A_1}O = {A_5}O = R,\]

    \[\angle {A_1}O{A_5} = {72^o}.\]

pravilnyj-pyatiugolnik-ploshchadПроведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A1OA5, то есть

    \[{A_1}F = \frac{1}{2}{A_1}{A_5} = \frac{a}{2},\]

    \[\angle {A_1}OF = \frac{1}{2}\angle {A_1}O{A_2} = {36^o}.\]

OF — радиус вписанной в A1A2A3A4A5 окружности: OF=r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1OF.

По определению синуса,

    \[\sin \angle {A_1}OF = \frac{{{A_1}F}}{{{A_1}O}},\]

откуда

    \[{A_1}O = \frac{{{A_1}F}}{{\sin \angle {A_1}OF}},\]

    \[R = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sin {{36}^o}}} = \frac{a}{{2\sin {{36}^o}}}.\]

Так как

    \[\sin {36^o} = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}} ,\]

то

    \[R = \frac{a}{{2\sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}} }} = \frac{{a\sqrt 8 }}{{2\sqrt {5 - \sqrt 5 } }} = \frac{{a \cdot 2\sqrt 2 }}{{2\sqrt {5 - \sqrt 5 } }} = \]

    \[ = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt {5 - \sqrt 5 } }} = \frac{{a\sqrt 2  \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{\sqrt {5 - \sqrt 5 }  \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }} = \frac{{a\sqrt 2  \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{\sqrt {{5^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}} }} = \]

    \[ = \frac{{a\sqrt 2  \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{\sqrt {20} }} = \frac{{a\sqrt 2  \cdot \sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{{2\sqrt 5 }} = \]

    \[ = \frac{{a\sqrt 2 \cdot\sqrt {5 + \sqrt 5 } \cdot\sqrt 5 }}{{2\sqrt 5 \cdot\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt {50 + 10\sqrt 5 } }}{{10}}.\]

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

    \[R = \frac{{a\sqrt {50 + 10\sqrt 5 } }}{{10}}.\]

По определению котангенса,

    \[ctg\angle {A_1}OF = \frac{{OF}}{{{A_1}F}},\]

    \[OF = {A_1}F \cdot {\rm{ctg}}\angle {A_1}OF = \frac{a}{2} \cdot {\rm{ctg}}{36^o}.\]

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

    \[OF = \frac{a}{2}\cdot\frac{{\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{5}.\]

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

    \[r = \frac{{a\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{10}}.\]

Применив формулу

    \[S = pr,\]

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

    \[p = \frac{{5a}}{2},r = \frac{{a\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{10}},\]

следовательно, формула для нахождения площади A1A2A3A4A5

    \[S = \frac{{5a}}{2}\cdot\frac{{a\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{10}} = \frac{{{a^2}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4}.\]

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Длина диагонали равна

    \[d = \frac{{a(\sqrt 5 + 1)}}{2}.\]

Добавить комментарий