Хорда равна радиусу

Если хорда равна радиусу окружности, то какие из этого можно сделать выводы?

Утверждение

Если хорда равна радиусу окружности, то она стягивает дугу 60º.

horda-ravna-radiusuДано: окружность (O; R)

AB — хорда, AB=R.

Доказать:

    \[ \cup AKB = \angle AOB = {60^o}\]

Доказательство:

Рассмотрим треугольник AOB.

OA=OB=R, хорда AB по условию также равна радиусу: AB=R, следовательно, AB=OA=OB, то есть треугольник AOB — равносторонний.

Отсюда, ∠AOB=60º (как угол равностороннего треугольника).

Величина дуги равна величине опирающегося на неё центрального угла, то есть хорда AKB стягивает дугу в 60º: 

    \[ \cup AKB = \angle AOB = {60^o}\]

(Кроме того, поскольку градусная мера окружности равна 360º, а 60º — одна шестая часть от 360º, то дуга AKB составляет шестую часть окружности).

Что и требовалось доказать.

Так как вписанный угол равен половине соответствующему ему центрального угла (либо равен половине дуги, на которую он опирается), то

    \[\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = {30^0}\]

Вывод:

  • центральный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу, равен 60º;
  • вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу, равен 30º.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>