Уравнение биссектрисы угла

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0.

Расстояние от точки (xo;yo) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

    \[d = \frac{{\left| {ax_o + by_o + c} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\]

uravnenie-bissektrisy-uglaПо свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

    \[\frac{{\left| {a_1 x + b_1 y + c_1 } \right|}}{{\sqrt {a_1 ^2 + b_1 ^2 } }} = \frac{{\left| {a_2 x + b_2 y + c_2 } \right|}}{{\sqrt {a_2 ^2 + b_2 ^2 } }}.\]

Это равенство можно записать в виде

    \[\frac{{a_1 x + b_1 y + c_1 }}{{\sqrt {a_1 ^2 + b_1 ^2 } }} = \pm \frac{{a_2 x + b_2 y + c_2 }}{{\sqrt {a_2 ^2 + b_2 ^2 } }}.\]

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Пример.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

Решение:

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:

    \[\frac{{4x - 3y - 10}}{{\sqrt {4^2 + ( - 3)^2 } }} = \pm \frac{{9x - 12y - 7}}{{\sqrt {9^2 + ( - 12)^2 } }},\]

    \[\frac{{4x - 3y - 10}}{5} = \pm \frac{{9x - 12y - 7}}{{15}},\]

    \[12x - 9y - 30 = \pm (9x - 12y - 7),\]

    \[1)12x - 9y - 30 = 9x - 12y - 7,\]

    \[3x + 3y - 23 = 0;\]

    \[2)12x - 9y - 30 = - 9x + 12y + 7,\]

    \[21x - 21y - 37 = 0.\]

Ответ: 3x+3y-23=0; 21x-21y-37=0.

Добавить комментарий