Уравнение биссектрисы треугольника

Как составить уравнение биссектрисы треугольника по координатам его вершин?

1 способ

Используя уравнение биссектрисы угла:

    \[\frac{{a_1 x + b_1 y + c_1 }}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 } }} = \pm \frac{{a_2 x + b_2 y + c_2 }}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2 } }}.\]

Пример.

Даны вершины треугольника A(-5;4), B(7;-1) и C(3;10).

1) Составить уравнение биссектрисы треугольника ABC, выходящей из вершины A.

2) Найти длину этой биссектрисы.

Решение:

1) Угол A образован прямыми AB и AC. Составим уравнения этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, например, по формуле

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

Уравнение прямой AB:

    \[\frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} = \frac{{x + 5}}{{7 + 5}},\]

    \[5x + 12y - 23 = 0.\]

Уравнение прямой AC:

    \[\frac{{y - 4}}{{10 - 4}} = \frac{{x + 5}}{{3 + 5}},\]

    \[3x - 4y + 31 = 0.\]

Подставляем уравнения прямых AB и AC в формулы уравнения биссектрис угла:

    \[\frac{{5x + 12y - 23}}{{\sqrt {5^2 + 12^2 } }} = \pm \frac{{3x - 4y + 31}}{{\sqrt {3^2 + ( - 4)^2 } }},\]

    \[\frac{{5x + 12y - 23}}{{13}} = \pm \frac{{3x - 4y + 31}}{5},\]

    \[25x + 60y - 115 = \pm (39x - 52y + 403)\]

    \[14x - 112y + 518 = 0\]

и

    \[64x + 8y + 288 = 0,\]

то есть

    \[x - 8y + 37 = 0\]

и

    \[8x + y + 36 = 0.\]

Из этих уравнений является уравнением биссектрисы внутреннего угла BAC треугольника, другое — биссектрисой внешнего угла при вершине A. Как отличить уравнение биссектрисы внутреннего угла?

Точки B и C лежат по одну сторону от биссектрисы внешнего угла, поэтому при подстановке координат B и C в уравнение мы получим числа одинакового знака. От биссектрисы внутреннего угла B и C лежат по разные стороны, поэтому подстановка их координат в уравнение биссектрисы внутреннего угла даёт нам числа разных знаков.

Подставляем в уравнение x-8y+37=0 координаты B и C.

B(7;-1):  7-8·(-1)+37>0

C(3;10):  3-8·10+37<0.

Таким образом, уравнение x-8y+37=0 является уравнением биссектрисы AF треугольника ABC.

uravnenie-bissektrisy-treugolnika

2) Чтобы найти длину биссектрисы, найдём точку пересечения прямых AF и BF.

Уравнение прямой BC:

    \[\frac{{y + 1}}{{10 + 1}} = \frac{{x - 7}}{{3 - 7}},\]

    \[11x + 4y - 73 = 0.\]

Координаты точки пересечения прямых AF и BC находим из системы уравнений

    \[\left\{ \begin{array}{l} 11x + 4y - 73 = 0, \\ x - 8y + 37 = 0. \\ \end{array} \right.\]

Решение системы —

    \[F(\frac{{109}}{{23}};\frac{{120}}{{23}}).\]

Длину биссектрисы AF находим по формуле расстояния между точками A и F:

    \[AF = \sqrt {(x_F - x_A )^2 + (y_F - y_A )^2 } \]

    \[ AF = \sqrt {(\frac{{109}}{{23}} - ( - 5))^2 + (\frac{{120}}{{23}} - 4)^2 } = \]

    \[= \sqrt {(\frac{{224}}{{23}})^2 + (\frac{{28}}{{23}})^2 } = \sqrt {\frac{{50960}}{{23^2 }}} = \frac{{28\sqrt {65} }}{{23}}.\]

2 способ

Используя свойство биссектрисы треугольника:

    \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BF}}{{CF}}\]

    \[AC = \sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 } ,\]

    \[AC = \sqrt {(3 - ( - 5))^2 + (10 - 4)^2 } = 10,\]

    \[AB = \sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 } ,\]

    \[AB = \sqrt {(7 - ( - 5))^2 + ( - 1 - 4)^2 } = 13,\]

    \[\frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{13}}{{10}}.\]

По формулам деления отрезка в данном отношении

    \[x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{m + n}},y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}\]

разделим отрезок BC в отношении 13 к 10, то есть

    \[x_F = \frac{{nx_B + mx_C }}{{m + n}},y_F = \frac{{ny_B + my_C }}{{m + n}},m = 13,n = 10\]

    \[x_F = \frac{{10 \cdot 7 + 13 \cdot 3}}{{13 + 10}} = \frac{{109}}{{23}},y_F = \frac{{10 \cdot ( - 1) + 13 \cdot 10}}{{13 + 10}} = \frac{{120}}{{23}}.\]

Составим уравнение биссектрисы AF треугольника ABC как уравнение прямой, проходящей через точки

    \[A( - 5;4),F(\frac{{109}}{{23}};\frac{{120}}{{23}})\]

    \[\frac{{y - 4}}{{\frac{{120}}{{23}} - 4}} = \frac{{x + 5}}{{\frac{{109}}{{23}} + 5}}, \Rightarrow \frac{{23(y - 4)}}{{28}} = \frac{{23(x + 5)}}{{224}},\]

    \[x - 8y + 37 = 0.\]

Добавить комментарий