Площадь треугольника по координатам вершин

Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?

1способ:

Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.

2 способ:

вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.

Утверждение

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) можно вычислить с помощью формулы

    \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} \right|.\]

Доказательство:

ploshchad-treugolnika-po-koordinatamРассмотрим треугольник ABC,

A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)

Опустим перпендикуляры из вершин треугольника на координатные оси.

    \[S_{\Delta ABC} = S_{MACN} + S_{NCBK} - S_{MABK} \]

    \[S_{MACN} = \frac{{MA + CN}}{2} \cdot MN = \frac{{y_1 + y_3 }}{2} \cdot (x_3 - x_1 ),\]

    \[S_{NCBK} = \frac{{NC + BK}}{2} \cdot NK = \frac{{y_3 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_3 ),\]

    \[S_{MABK} = \frac{{MA + BK}}{2} \cdot MK = \frac{{y_1 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_1 ).\]

    \[S_{\Delta ABC} = \]

    \[= \frac{{y_1 + y_3 }}{2} \cdot (x_3 - x_1 ) + \frac{{y_3 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_3 ) - \frac{{y_1 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_1 ) = \]

    \[= \frac{1}{2}[(y_1 + y_3 )(x_3 - x_1 ) + (y_3 + y_2 )(x_2 - x_3 ) - (y_1 + y_2 )(x_2 - x_1 )] = \]

    \[= \frac{1}{2}[x_3 y_1 - x_1 y_1 \underline { + x_3 y_3 } - x_1 y_3 + x_2 y_3 \underline { - x_3 y_3 } + x_2 y_2 - x_3 y_2 - \]

    \[- x_2 y_1 + x_1 y_1 - x_2 y_2 + x_1 y_2 ] =\]

    \[= \frac{1}{2}[(x_2 y_3 - x_2 y_1 ) + ( - x_1 y_3 + x_1 y_1 ) + (x_1 y_2 - x_1 y_1 ) + \]

    \[+ ( - x_3 y_2 + x_3 y_1 )] = \]

    \[= \frac{1}{2}[x_2 (y_3 - y_1 ) - x_1 (y_3 - y_1 ) + x_1 (y_2 - y_1 ) - x_3 (y_2 - y_1 )] = \]

    \[= \frac{1}{2}[(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )].\]

С учетом вариантов взаимного расположения точек A, B и C формула для вычисления площади треугольника по координатам его вершин приобретает вид:

    \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} \right|. \]

Что и требовалось доказать.

3 способ:

Найти длины двух сторон и косинус угла между ними и вычислить площадь треугольника через стороны и синус угла между ними.

4 способ:

Найти длину и уравнение одной стороны треугольника и длину высоты, проведённой к этой стороне. Вычислить площадь через сторону и высоту.

Рассмотрим эти способы на конкретном примере.

Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A(-1;-3), B(3;4), C(5;-5).

1 способ:

Находим длины сторон треугольника ABC.

    \[AB = \sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 } \]

    \[ AB = \sqrt {(3 - ( - 1))^2 + (4 - ( - 3))^2 } = \sqrt {16 + 49} = \sqrt {65} ;\]

    \[AC = \sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 } \]

    \[AC = \sqrt {(5 - ( - 1))^2 + ( - 5 - ( - 3))^2 } = \sqrt {36 + 4} = \sqrt {40} ;\]

    \[BC = \sqrt {(x_C - x_B )^2 + (y_C - y_B )^2 } \]

    \[BC = \sqrt {(5 - 3)^2 + ( - 5 - 4)^2 } = \sqrt {4 + 81} = \sqrt {85} .\]

Поскольку длины сторон выражены иррациональными числами, вычислять площадь треугольника по формуле Герона — не самый лучший способ.

2 способ:

Подставляем в формулу x1=-1, y1=-3, x2=3, y2=4, x3=5, y3=-5:

    \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(3 - ( - 1))( - 5 - ( - 3)) - (5 - ( - 1))(4 - ( - 3))} \right| = \]

    \[= \frac{1}{2}\left| {4 \cdot ( - 2) - 6 \cdot 7} \right| = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25.\]

3 способ:

Угол A образован векторами AC и AB. Отсюда

    \[ \cos \angle A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} \]

Находим координаты векторов:

    \[\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A )\]

    \[\overrightarrow {AB} (3 - ( - 1);4 - ( - 3))\]

    \[\overrightarrow {AB} (4;7);\]

    \[\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A )\]

    \[\overrightarrow {AC} (5 - ( - 1); - 5 - ( - 3))\]

    \[\overrightarrow {AC} (6; - 2).\]

Скалярное произведение

    \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4 \cdot 6 + 7 \cdot ( - 2) = 10.\]

Длины AB и AC уже знаем:

    \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {65} ,\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {40} .\]

    \[\cos \angle A = \frac{{10}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {40} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {5 \cdot 13} \cdot \sqrt {5 \cdot 4 \cdot 2} }} = \]

    \[= \frac{{10}}{{5 \cdot 2\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}.\]

Синус и косинус одного угла связаны соотношением:

    \[\sin ^2 \angle A + \cos ^2 \angle A = 1\]

Синус угла от 0° до 180° является положительным числом, поэтому

    \[\sin \angle A = \sqrt {1 - \cos ^2 \angle A} \]

    \[\sin \angle A = \sqrt {1 - \frac{1}{{26}}} = \sqrt {\frac{{25}}{{26}}} = \frac{5}{{\sqrt {26} }}.\]

Отсюда

    \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A,\]

    \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {65} \cdot \sqrt {40} \cdot \frac{5}{{\sqrt {26} }} = 25.\]

4 способ:

Найдём уравнение прямой AB. Подставляем координаты A и B в уравнение y=kx+b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 3 = k \cdot ( - 1) + b \\ 4 = k \cdot 3 + b \\ \end{array} \right.\]

Отсюда k=7/4, b=-5/4

    \[y = \frac{7}{4}x - \frac{5}{4},4y = 7x - 5,\]

    \[7x - 4y - 5 = 0.\]

Найдём расстояние от точки C до прямой AB:

    \[d = \frac{{\left| {7 \cdot 5 - 4 \cdot ( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {7^2 + 4^4 } }} = \frac{{50}}{{\sqrt {65} }}.\]

Это расстояние равно высоте треугольника, проведённой из вершины C к стороне AB. Отсюда

    \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {65} \cdot \frac{{50}}{{\sqrt {65} }} = 25.\]

Добавить комментарий